Expérience à plusieurs résultats possibles : espèce à laquelle appartient un individu : \(\{r_1, r_2, \dots, r_s, \dots, r_S\}\)

Probabilités associées \(\{p_1, p_2, \dots, p_s, \dots, p_S\}\)

Information \(I(p_s)\), décroissante, \(I(1) = 0\)

Entropie = Information moyenne apportée par un individu: \(\sum_s{p_s I(p_s)}\)

Le fondateur : Shannon (1948)

• \(I(p_s) = \ln{\frac{1}{p_s}}\)
• \(H = \sum_s{p_s \ln{\frac{1}{p_s}}}\)

Les généralisations :

• Rényi (1961) :

  • \(^{\alpha}R = \frac{1}{1 - \alpha} \ln{\sum_s{p_s^\alpha}}\)

• Tsallis (1998) :

  • \(^{q}H = \frac{1}{q - 1} (1 - \sum_s{p_s^q})\).
  • Appelée aussi HCDT (Havrda and Charvát 1967; Daróczy 1970; Tsallis 1998)

Les trois entropies respectent (Patil and Taillie 1982; Grabchak et al. 2017) :

• Symétrie
• Continuité par rapport aux probabilités
• Principe des transferts, qui contient:
  • L’ajout d’une espèce augmente la diversité
  • Maximisation si toutes les probabilités sont égales

\(^{0}H\) est le nombre d’espèces -1

\(^{1}H\) est l’entropie de Shannon

\(^{2}H\) est l’entropie de Simpson : \(1 - \sum_s{p_s^2}\)

\(q\) paramétrise l’importance des espèces rares.

Application à la relation diversité-productivité en forêt Liang et al. (2016) : \(q = 2\).

Tsallis (1994):

• \(\ln_q{x} = \frac{x^{1-q} - 1}{1 - q}\)

• \(e_q^x = \left[1 + \left(1 - q \right)x \right]^{\frac{1}{q - 1}}\)

Simplifie l’écriture de l’entropie HCDT (Marcon et al. 2014) :

\(^{q}H = \sum_s{p_s \ln_q{\frac{1}{p_s}}}\)

La rareté est l’inverse de la probabilité : \(\frac{1}{p_s}\)

L’information est le logarithme (déformé) de la rareté : \(\ln_q{\frac{1}{p_s}}\)

L’entropie est l’espérance de l’information :

\[^{q}H = \sum_s{p_s \ln_q{\frac{1}{p_s}}}\]

Hill (1973) : Nombre d’espèces équiprobables ayant l’entropie des données. Nombre effectif (Wright 1931; Gregorius 1991).

Résume la diversité à un seul nombre : diversité au sens strict (Jost 2006)

La diversité est l’exponentielle de l’entropie (Marcon et al. 2014) :

\[^{q}D = e_q^{^{q}H}\]

Il existe des estimateurs :

• Richesse : Chao (Chao 1984) ou Jacknife (Burnham and Overton 1978)

library("divent")
div_richness(BCI_50ha)

## # A tibble: 1 × 3
##   estimator   order diversity
##   <chr>       <dbl>     <dbl>
## 1 Jackknife 1     0       244

• Entropie HCDT :
  • Réduction du biais d’estimation (Chao and Jost 2015)
  • Estimation de la distribution réelle (Chao et al. 2015)

div_hill(BCI_50ha, q = 1)

## # A tibble: 1 × 3
##   estimator order diversity
##   <chr>     <dbl>     <dbl>
## 1 UnveilJ       1      72.0

Phylogénie dans l’idéal, taxonomie possible (Ricotta et al. 2012).

L’entropie est l’information moyenne au cours du temps (Pavoine and Bonsall 2011).

\[^{q}\bar{H}(T) = \sum_k{\frac{T_k}{T} {^{q}_{k}H}}\] La diversité est son exponentielle (Marcon and Hérault 2015).

Whittaker (1960) : plusieurs communautés regroupées dans une métacommunauté dont les communautés sont des échantillons. La diversité est la richesse (entropie et diversité).

• Diversité \(\alpha\) : diversité moyenne des communautés (nombre moyen d’espèces)
• Diversité \(\gamma\) : de la métacommunauté (nombre total d’espèces)
• Diversité \(\beta\) : entre les communautés. Ratio \(\gamma / \alpha\) ou différence \(\gamma - \alpha\) (Lande 1996)

Précisément :

• L’entropie \(\alpha\) est la moyenne des entropies locales : quantité d’information
• La diversité est l’exponentielle de l’entropie
• La diversité \(\beta\) est le rapport des diversités, l’entropie \(\beta\) la différence des entropies
• La diversité \(\beta\) est un nombre effectif de communautés : communautés de même poids, sans aucune espèce commune (Jost 2007)

3 Communautés avec respectivement 6, 4 et 5 espèces ; 10 espèces au total :

• Diversité \(\alpha\) : 5 espèces par communauté
• Diversité \(\gamma\) : 10 espèces
• Diversité \(\beta\) : 2 communautés effectives

10 espèces = 5 espèces par communauté X 2 communautés

L’entropie permet de caractériser la diversité : c’est l’espérance de l’information apportée par un individu

L’entropie est une quantité d’information

La diversité au sens strict est un nombre effectif (d’espèces, de communautés…)

Pas d’indices de diversité ici : seulement des mesures

La rareté est l’inverse de la probabilité : \(\frac{1}{p_s}\)

L’information est le logarithme (déformé) de la rareté : \(\ln_q{\frac{1}{p_s}}\)

L’entropie est l’espérance de l’information :

\[^{q}H = \sum_s{p_s \ln_q{\frac{1}{p_s}}}\]

La diversité est son exponentielle : \[^{q}D = e_q^{^{q}H}\]

En pratique : package divent et de la lecture (écran ou PDF).