Savoir tester un ensemble de valeurs observées, \({y_i}\), issues d’une variable aléatoire \(Y\), contre plusieurs hypothèses nulles :

• une valeur est un tirage vraisemblable de \(Y\) ;
• une autre distribution, éventuellement appariée, provient de \(Y\) ;
• une autre distribution provient de \(X\) qui est corrélée à \(Y\) ;

Les tests peuvent être paramétrique, c’est-à-dire s’appuyer sur des lois connues (la loi normale surtout), ou non paramétrique, et s’appuyer sur les rangs.

Contexte: \(Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\).

n <- 1000 ; mu <- 1 ; sigma = 10
Y <- rnorm(n, mean = mu, sd = sigma)

Hypothèse nulle : \(\mu = 0\).

Test de Student : t.test(Y, mu = 0)

Modèle linéaire : lm(Y ~ 1)

\(\to\) Faire varier \(n\) et \(\sigma\).

Contexte: \(Y\) n’est pas forcément distribué normalement.

Hypothèse nulle : \(\mu = 0\).

Test de Wilcoxon : wilcox.test(Y, mu = 0)

Teste l’hypothèse que deux échantillons sont issus de la même distribution normale

Y_double <- rnorm(2 * n, mean = mu, sd = sigma)
Y_1 <- Y_double[1:n] ; Y_2 <- Y_double[(n + 1):(2 * n)]
ks.test(Y_1, Y_2)

## 
##  Asymptotic two-sample Kolmogorov-Smirnov
##  test
## 
## data:  Y_1 and Y_2
## D = 0.035, p-value = 0.5727
## alternative hypothesis: two-sided

\(\to\) Interpréter ks.test(Y_1, Y_2 + 2) (faire un graphique)

Contexte:

• \(Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)
• \(Y_0 \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma^2)\)

mu_0 <- 2 ;
Y_0 <- rnorm(n, mean = mu_0, sd = sigma)

Hypothèse nulle : \(\mu = \mu_0\).

Test de Student : t.test(Y, Y_0, var.equal = TRUE)

Modèle linéaire : Anova à un facteur.

Contexte:

• \(Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)
• \(Y_0 \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma_0^2)\)

sigma_0 <- 20 ;
Y_0 <- rnorm(n, mean = mu_0, sd = sigma_0)

Hypothèse nulle : \(\mu = \mu_0\).

Test de Welch : t.test(Y, Y_0)

Modèle linéaire : Anova de Welch.

Contexte: \(Y\) ou \(Y_0\) ne sont pas distribuées normalement.

Hypothèse nulle : \(\mu = \mu_0\).

Test U de Mann-Whitney : wilcox.test(Y, Y_0)

Modèle linéaire : Anova à un facteur sur les rangs signés.

Contexte: \(Y\) et \(Y_0\) sont deux observations du même phénomène.

• \(Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)
• \(Y_0 \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma^2)\)

Y_0 <- Y + rnorm(n, mean = mu_0 - mu)

Hypothèse nulle : \(\mu = \mu_0\).

Test de Student : t.test(Y, Y_0, paired = TRUE)

Modèle linéaire : lm(Y - Y_0 ~ 1)

Contexte:

• \(Y\) et \(Y_0\) sont deux observations du même phénomène.
• \(Y\) ou \(Y_0\) ne sont pas distribuées normalement.

Hypothèse nulle : \(\mu = \mu_0\).

Test de Wilcoxon apparié : wilcox.test(Y, Y_0, paired = TRUE)

Contexte:

• \(Y\) et \(X\) sont liées linéairement
• \(Y-Y^\star \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\)

Hypothèse nulle : \(\mathrm{Cor}(X, Y) = 0\).

Test de corrélation : cor.test(X, Y, method = "Pearson")

Modèle linéaire : lm(Y ~ 1 + X)

Contexte:

• \(Y\) et \(X\) sont liées non linéairement, mais la relation est monotone.

Hypothèse nulle : \(\mathrm{Cor}(X, Y) = 0\).

Test de corrélation : cor.test(X, Y, method = "Spearman")

Modèle linéaire : lm(Y ~ 1 + X)

Simulation de tirages corrélés

library(MASS) # Attention à MASS::select()
# Matrice de covariance
Sigma <- matrix(c(1, 0.8, 0.8, 1), nrow = 2)
# Simulation de X et Y
XY <- mvrnorm(n, mu = c(mu, mu_0), Sigma = Sigma)

Test:

cor.test(XY[, 1], XY[, 2])

## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  XY[, 1] and XY[, 2]
## t = 39.941, df = 998, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.7592478 0.8070751
## sample estimates:
##       cor 
## 0.7843242

Tous ces tests s’appuient sur le modèle linéaire, y compris les tests non paramétriques qui utilisent le modèle linéaire sur les rangs (éventuellement signés) des variables.

Référence.