Enquête de vie 2003 de l’INSEE

library("questionr")
data(hdv2003)

Tableau croisé de comptage.

(tab_x <- table(hdv2003$sexe, hdv2003$cuisine))

##        
##         Non Oui
##   Homme 629 270
##   Femme 490 611

Test de l’indépendance des lignes et des colonnes.

Hypothèse nulle : la fréquence relative de chaque cellule du tableau est le produit des fréquences marginales.

n <- sum(tab_x)
sexe_f <- rowSums(tab_x) / n
cuisine_f <- colSums(tab_x) / n
outer(sexe_f, cuisine_f, `*`) * n

##            Non      Oui
## Homme 502.9905 396.0095
## Femme 616.0095 484.9905

La somme des carrés des écarts des effectifs divisés par la valeur attendue suit une loi du \(\chi_2\) à \((I -1) \times (J - 1)\) degrés de liberté (I et J sont les nombres de lignes et colonnes)

chisq.test(tab_x)

## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates'
##  continuity correction
## 
## data:  tab_x
## X-squared = 129.15, df = 1, p-value <
## 2.2e-16

Les écarts sont significatifs avec une p-value proche de 0.

mosaicplot(tab_x, shade = TRUE, main = "")

L’argument shade = TRUE affiche les résidus du test qui suivent approximativement une loi normale centrée réduite (la valeur critique 2 correspond à 95% de confiance).

La covariance entre \(X\) et \(Y\), deux variables aléatoires, est \[\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))(Y - \mathbb{E}(Y))]\] donc \[\mathrm{var}(X) = \mathrm{Cov}(X, X)\]

Empiriquement : \[\hat{\mathrm{Cov}}(X, Y) = \frac{1}{n - 1}\sum_i{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}\]

Données Ventoux.

read_csv2("data/Inv_GEEFT_Ventoux_09-2020.csv") |> 
  rename(
    espece = Espèce, 
    diametre = `Diamètre (cm)`, 
    hauteur = `Hauteur réelle (m)`
  ) -> ventoux

La hauteur des arbres covarie positivement avec le diamètre.

with(ventoux, cov(hauteur, diametre))

## [1] 75.31186

Pour simplifier l’interprétation, on normalise la covariance par le produit des écarts-types :

\[\mathrm{Cor}(X, Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sqrt{(\mathrm{var}(X)\mathrm{var}(Y))}}\] Donc \(\mathrm{Cor}(X, X) = 1\) et \(\mathrm{Cor}(X, -X) = -1\).

La corrélation est comprise entre -1 et 1.

with(ventoux, cor(hauteur, diametre))

## [1] 0.8427001

Les données sont très corrélées (le test viendra plus tard).

Les valeurs des données sont remplacées par leurs rangs.

with(ventoux, cor(hauteur, diametre, method = "spearman"))

## [1] 0.8490534

Remarquer la proximité des valeurs.