Enquête de vie 2003 de l’INSEE

library("questionr")
data(hdv2003)

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Statistiques sur l’âge des personnes interrogées

mean(hdv2003$age)

## [1] 48.157

sd(hdv2003$age)

## [1] 16.94181

var(hdv2003$age)

## [1] 287.0249

median(hdv2003$age)

## [1] 48

hist(hdv2003$age)

plot(density(hdv2003$age))

La densité n’est pas bornée

plot(density(hdv2003$freres.soeurs))

Utiliser le package GoFKernel

library("GoFKernel")
plot(
  density.reflected(hdv2003$freres.soeurs, lower = 0)
)

Histogramme des probabilités

hist(
  hdv2003$freres.soeurs, 
  prob = TRUE,
  main = "",
  xlab = "Nombre de frères et soeurs"
)
lines(
  density.reflected(hdv2003$freres.soeurs, lower = 0), 
  col = "red"
)

summary(hdv2003$age)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   18.00   35.00   48.00   48.16   60.00   97.00

quantile(hdv2003$age, probs = c(0.025, 0.975))

##  2.5% 97.5% 
##    20    81

boxplot(hdv2003$age ~ hdv2003$sexe)

Pour les variables discrètes.

table(hdv2003$sexe)

## 
## Homme Femme 
##   899  1101

Incontournables:

• loi uniforme
• loi de Bernoulli, loi binomiale
• loi de Poisson
• loi normale (gaussienne)

Densité de probabilité:

curve(dunif(x, min = 0, max = 1), from = 0, to = 1)

Fonction cumulative :

curve(punif(x, min = 0, max = 1), from = 0, to = 1)

Fonction quantile:

qunif(p = 0.95, min = 0, max = 2)

## [1] 1.9

Tirage:

runif(n = 5)

## [1] 0.0482511 0.2186699 0.5021846 0.4053148
## [5] 0.3986500

Toutes les distributions de probabilité ont des fonctions d, p, q et r.

La moyenne tend aussi vers l’espérance:

tirages_n <- 10000
tirages <- runif(tirages_n)
plot(x = 1:tirages_n, y = cumsum(tirages) / 1:tirages_n, type = "l")
abline(h = 0.5, col = "red")

Nombre de succès d’une épreuve répétée size fois avec la probabilité de succès prob.

hist(rbinom(tirages_n, size = 100, prob = 0.2))

Loi binomiale dont la probabilité de succès tend vers 0 et le nombre d’épreuves vers \(+\infty\).

Ex.: combien d’arbres se trouvent dans 1000 m² de forêt avec une densité de 500/ha?

# 10000 tirages, espérance = 500 * 0.1 
plot(density(rpois(tirages_n, 50)))
abline(v = 50, lty = 2)

Distribution de la moyenne de nombreuses variables aléatoires.

# 10000 tirages, espérance = 500 * 0.1 
plot(density(rnorm(tirages_n, mean = 50, sd = sqrt(50))))
abline(v = 50, lty = 2)

A comparer avec la loi de Poisson

Loi dont le logarithme est normal.

Distribution du produit de nombreuses variables aléatoires.

plot(
  density.reflected(rlnorm(tirages_n, meanlog = 0, sdlog = 1), lower = 0), 
  log ="x"
)
abline(v = exp(1/2), lty = 2)  # Espérance
abline(v = exp(-1), lty = 3)   # Mode 

\(\alpha\) est le seuil de risque, en général 5%.

\(1 - \alpha\) est le seuil de confiance, en général 95%.

95% des tirages d’une loi normale sont situés à moins de 1.96 écarts-types (\(\sigma\)) de l’espérance.

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Combien de temps regarde-t-on la TV par jour ?

(tv_mean <- mean(hdv2003$heures.tv, na.rm = TRUE))

## [1] 2.246566

\(n\) mesures individuelles, loi inconnue. La moyenne tend vers une loi normale.

n <- sum(!is.na(hdv2003$heures.tv))
tv_sd <- sd(hdv2003$heures.tv, na.rm = TRUE)
ci <- qt(1 - alpha / 2, df = n - 1) * tv_sd / sqrt(n)
paste("Intervalle de confiance:", tv_mean - ci, "-", tv_mean + ci)

## [1] "Intervalle de confiance: 2.16859286989944 - 2.32453996218076"

On regarde la TV plus de 2 heures par jour (95% de confiance).

Si la loi est inconnue mais l’algorithme de simulation disponible.

Exemple : carré d’une distribution normale.

dist <- rnorm(tirages_n)^2
(dist_q <- quantile(dist, c(0.025, 0.975)))

##        2.5%       97.5% 
## 0.001017103 5.249021141

plot(density(dist), main = "")
abline(v = dist_q, col = "red", lty = 2)

… mais on connaît souvent les distributions.

Le carré d’une loi normale est une loi du \(\chi^2\) à 1 degré de liberté, identique à une loi \(\Gamma\) de forme \(1/2\) et d’échelle \(2\).

qchisq(.075, df = 1)

## [1] 0.008861853

qchisq(.975, df = 1)

## [1] 5.023886

qgamma(0.975, shape = 1/2, scale = 2)

## [1] 5.023886

\(\to\) lire l’aide ?qchisq, Wikipedia, Google…